Un intento fallido de desentrañar la hipótesis de Riemann

El lunes día 24 de septiembre de 2018 los matemáticos de todo el mundo siguieron con expectación la transmisión de una conferencia en los Heidelberg Laureates Forum. La razón es sencilla: se había anunciado que se daría la demostración de la hipótesis de Riemann. Voy a tratar de convencer al lector no matemático de la importancia de tal acontecimiento (doy por hecho que al matemático no hace falta convencerlo en absoluto).

Los números primos son los ladrillos básicos con los que se construyen los números naturales

Uno de los problemas claves de las matemáticas (que posiblemente no se consiga resolver nunca) es el de la distribución de los números primos. Recordemos que un número es primo si al dividirlo por cualquier otro (que no sea él mismo o el 1) la división no sale exacta. Se puede pensar que esto es algo que solo interesa a los matemáticos, pero dado que los primos son los ladrillos básicos con los que se construyen los números naturales y que estos aparecen por doquier, es fácil encontrar aplicaciones en muchas ramas del saber, principalmente en física. Pero hoy en día, la principal aplicación de los primos es la criptografía. Algunos de los sistemas criptográficos más seguros y que utilizamos decenas de veces aún sin saberlos (en comunicaciones con el banco, en mensajería electrónica, correos, etc.) están basados de alguna u otra forma en tener varios primos muy grandes.

Sin embargo, antes de que existiera internet y de sus aplicaciones criptográficas, los números primos ya fascinaban a los matemáticos: son simples, infinitos (eso ya lo sabía Euclides), aparentemente inaprensibles y se pueden obtener muchos resultados (como el último teorema de Fermat, por ejemplo) a partir de ellos. En matemáticas, son multitud los enunciados que se pueden encontrar involucrando números primos y es raro el matemático de prestigio que no dedicara parte de su obra a ellos. Tampoco faltó la aportación del alemán Bernhand Riemann (1826-1866), este, aunque casi toda su obra es en análisis y geometría (fue el padre de una rama de la geometría que es fundamental para la Teoría de la Relatividad General de Einstein), dedicó un pequeño trabajo de 10 páginas a la Teoría de Números. Fueron unas cuantas páginas, pero revolucionó por completo dicha disciplina.

Si la hipótesis es cierta, existe una fórmula que dice dónde están todos los números primos

En dicho artículo, entre varios resultados muy interesantes, pero técnicos, Riemann construyó una función (recordemos que una función es una especie de caja, a la que se le mete un número y da como resultado otro número. Así la función “doble de” dado un número cualquiera, la caja lo que hace es multiplicarlo por 2) que se ha venido en llamar la función zeta de Riemann (es una función definida para no solo los números reales, sino también para los complejos). Y él se preguntó sobre la región en la que estaban los números complejos tal que al aplicarle la función da como resultado 0 (los llamados ceros de la función). Algunos eran fáciles de encontrar (valores pares negativos), pero el resto no lo eran tanto. La hipótesis de Riemann dice que todos esos ceros no triviales de la función zeta están situados sobre una recta (concretamente la recta x=½). Lo interesante es que Riemann probó que si su hipótesis era cierta (y se podían calcular los ceros de su función), era posible dar una fórmula que dijera exactamente dónde están todos los números primos.

¡Una fórmula que dice cuáles son todos los primos! La criptografía actual se tambalearía y toda nuestra seguridad en internet quedaría en entredicho.

Muchos han sido los matemáticos obsesionados con la hipótesis de Riemann: Hardy, Littlewood, Turing, etc. Y cada cierto tiempo alguien proclama tener la demostración (encontrar un contraejemplo es labor muy ardua puesto que se ha comprobado que, al menos, los primeros 10000000000000 ceros de la función cumplen la hipótesis). Puede servir de indicio de su importancia el siguiente hecho: en 1900 el matemático más importante de su época, David Hilbert dio una lista de 23 problemas cuya solución haría avanzar a las matemáticas, lo mismo ha ocurrido en el año 2000 con el Instituto Clay que propuso 7 problemas; solo hay uno que se repite en ambas listas: probar la hipótesis de Rieman.

La 'demostración' de Atiyah tiene grandes lagunas y ha sido acogida con gran escepticismo

Entonces, ¿qué ha ocurrido el 24 de septiembre de 2018? Pues que quien ha proclamado tener una demostración era un matemático de primer orden, ganador de dos de los premios más importantes que se otorgan en la disciplina: Sir Michael Atiyah (aunque en su contra iban sus casi noventa años). Así que departamentos enteros de matemáticas han seguido la transmisión de su presentación en el Heidelberg Laurates Forum. Por desgracia, según avanzaba en su discurso crecía el desconcierto y cuando llegó a lo que él proclamaba que era la demostración, pronto se empezó a señalar algunas importantes lagunas y la comunidad matemática acabó el visionado de la charla con gran escepticismo.

Parece que tendremos que seguir esperando para obtener una demostración correcta de la hipótesis de Riemann, igual un joven lector o lectora de estas líneas acaba ganando fama universal como aquel que venció la hipótesis de Riemann. El que esto escribe se conformaría con ser testigo de semejante hecho histórico.

* Alberto Márquez es catedrático de Matemática Aplicada en la Universidad de Sevilla